课程名称： 微积分II

英文名称：Differential and Integral Calculas II

一、课程简介

微积分II包括多元函数微分法及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分，无穷级数，常微分方程等内容。

二、课程目标

既要培养学生的理论知识、计算能力和逻辑推理能力，也要培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。让学生深刻地掌握数学理论、数学思想和数学方法，为今后更高层次的学习与习与应用打下坚实的基础。

三、教学内容和学时分配

（一）第一章 多元函数微分法及其应用 学时（22）

主要内容：

多元函数的基本概念；偏导数；全微分；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元函数微分学的几何应用；方向导数与梯度；多元函数的极值及其求法；二元函数的泰勒公式；最小二乘法。

教学要求：

掌握多元函数的极限与连续概念，偏导数的概念、几何意义，全微分概念，全微分存在的充分条件与必要条件；掌握多元函数的偏导数计算方法，复合函数偏导数的求法，隐函数的偏导数计算方法，方向导数与梯度的计算；多元函数的无条件极值和条件极值的求法；二元函数的泰勒公式。

重点、难点：

多元复合函数的求导法则，方向导数与梯度，多元函数的极值，二元函数的泰勒公式。

其它教学环节：讲三次习题课。

（二）第二章 重积分 学时（18）

主要内容：

二重积分的概念与性质；二重积分的计算法；三重积分；重积分的应用；含参变量的积分。

教学要求：

掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法，二重积分的换序，三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的计算，三重积分的换序，重积分的应用，含参变量的积分。

重点、难点：二重积分、三重积分的计算法。

其它教学环节：讲两次习题课。

（三）第三章 曲线积分与曲面积分 学时（18）

主要内容：

对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；格林公式及其应用；对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；高斯公式、通量与散度；斯托克斯公式、环流量与旋度。

教学要求：

熟练掌握对弧长、对坐标的的曲线积分，两类曲线积分之间的联系，对面积、对坐标的曲面积分，两类曲面积分之间的联系；掌握格林公式，高斯公式，斯托克斯公式及其应用，散度、旋度、哈密顿算子和拉普拉斯算子。

重点、难点：

对坐标的的曲线积分，对坐标的曲面积分，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。

其它教学环节：讲两次习题课。

（四）第四章 无穷级数 学时（22）

主要内容：

常数项级数的概念和性质；常数项级数的审敛法；幂级数；函数展开成幂级数；函数的幂级数展开式的应用；函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质；傅里叶级数；一般周期函数的傅里叶级数。

教学要求：

掌握常数项级数的概念和性质，正项级数、交错级数及其判敛，绝对收敛与条件收敛；掌握函数项级数的概念与性质，函数项级数的一致收敛，幂级数的收敛区间，幂级数的和函数，函数展开成幂级数及其在近似计算中的应用；掌握三角函数系的正交性，傅立叶级数，正弦级数与余弦级数，傅立叶级数的复数形式及欧拉公式。

重点、难点：常数项级数的审敛法，函数项级数的一致收敛，傅立叶级数。

其它教学环节：讲三次习题课。

（五）第五章 常微分方程 学时（16）

主要内容：

可分离变量的微分方程、齐次微分方程与可化为齐次的微分方程、一阶线性微分方程与贝努利方程、积分因子与全微分方程、可降阶的高阶微分方程、高阶线性微分方程、高阶常系数线性微分方程、微分方程的幂级数解法、常系数线性微分方程组。

教学要求：要求学生熟练掌握一些特殊常微分方程（组）的求解。

重点、难点：微分方程的幂级数解法、常系数线性微分方程组。

其它教学环节：讲两次习题课。

四、教材与学习资源

1．马知恩，王绵森主编，工科数学分析基础（第二版），北京：高等教育出版社，2006。

2．同济大学应用数学系主编，高等数学(第五版)，北京：高等教育出版社，2002。

3．复旦大学数学系陈传璋等，数学分析，北京：高等教育出版社，1978。

五、教学策略与方法建议

实际教学中，视情况可以考虑将微积分I和II中的几何与常微分方程部分内容对调教学。

六、考核方式（必备项）

平时成绩40%（作业20%，阶段测试20％），期末考试60%。

【编写日期】：2014.12.10