课程名称：多元微积分和线性代数

英文名称：Multivariate Calculus and Linear Algebra

一、课程简介

微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括导数与微分及其运算。积分学，包括求积分的运算，为计算曲面面积、立体体积、曲线弧长以及变力做功、液体压力、转动惯量等提供一套通用的方法。微积分是微分学和积分学的总称。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

二、课程目标

目前，我国非数学专业微积分课程教学大体上分为三类四级：理科类:微积分(A)、工科类:含微积分(B)和微积分(C)、文科类:微积分(D)。它是为培养我国社会主义现代化建设在各个领域所需要的高质量专门人才而设立，其中微积分(B)是工科类本科对数学要求较高的专业学生必修的一门重要基础理论课。通常适合如下专业：化学、电子商务、工商管理、会计、资源环境、环境工程、环境系统、资源环境与工程、信息管理系统、人力资源、公共卫生、体育经济等。

通过对多元微积分与线性代数（微积分(B)下册）内容的学习，要使学生掌握以下内容：1、向量代数与空间解析几何；2、多元函数微分学；3、多元函数积分学；4、无穷级数；5、线性代数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在教授这些知识的过程中，要通过各个教学环节和各种教学手段有意识地、有目的地逐步培养学生的实际运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维能力和自学创新能力，尤其还要注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

三、教学内容和学时分配

二学期：多元微积分与线性代数,共96学时

（七）第六章 空间解析几何 学时（16=课堂讲授10学时+课程实验6学时）

主要内容、教学要求：

1. 了解空间直角坐标系，掌握向量的概念、向量的运算、向量的各种表示和向量间的相互关系。

2. 掌握向量的线性运算和非线性运算的各种方法和技巧。

3. 掌握平面方程、直线方程以及其求法，会利用点、线、面之间的相互关系解决实际问题。

4. 了解曲面方程的概念，掌握二次曲面的标准方程及其对应图形，掌握旋转曲面和柱面的方程。

5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

6. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

（八）第七章 多元函数微分学 学时（14=课堂讲授10学时+课程实验4学时）

主要内容、教学要求：

1. 了解多元函数、二元函数的极限与连续函数的概念，理解有界闭区域上多元连续函数的性质。

2. 掌握偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的条件及一阶微分形式的不变性。

3. 了解方向导数和梯度的概念及其计算方法。

4. 掌握一般函数偏导数的求法，会求隐函数的偏导数。

5. 掌握曲线的切线和法平面、曲面的切平面与法线（即两线两面）的概念和求法。

6. 了解多元函数极值的概念并会求其极值；了解拉格朗日乘数法并会解诀最值问题。

（九）第八章 重积分 学时（12=课堂讲授8学时+课程实验4学时）

主要内容、教学要求：

1. 理解多重积分的概念及其性质。

2. 会交换二重积分与三重积分的积分次序。

3. 掌握二重积分与三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

4. 会用重积分运算求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

（十）第十章 无穷级数 学时（14=课堂讲授8学时+课程实验6学时）

主要内容、教学要求：

1. 掌握无穷级数的概念，了解无穷级数的基本性质及其收敛条件。

2. 掌握几何级数、调和级数和p-级数的收敛性。

3. 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根植审敛法审敛。

4. 会用交错级数的莱布尼兹定理审敛。

5. 了解一般无穷级数的绝对收敛性。

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握幂级数收敛区间的求法。

7. 会用幂级数的运算性质解决（幂）级数的求和（函数）问题，了解函数展开为幂级数的充要条件。

8. 了解傅里叶级数的基本概念、性质、运算、求和、函数展开及其应用等问题。

（十一）第十一章 线性代数 学时（40=课堂讲授30学时+课程实验10学时）

主要内容、教学要求：

1．了解行列式的概念，掌握行列式的运算性质和展开性质，会用克莱姆法则解方程组。

2．了解矩阵的概念，掌握矩阵运算的法则和性质以及可逆矩阵求逆的方法。

3．了解n维向量的概念及其运算性质，掌握向量组的线性相关性及其判别法，会求向量组的秩和最大线性无关组。

4．掌握矩阵的初等变换法及其用途，了解初等方阵的定义及运算性质。

5．了解向量空间的概念，会求向量空间的维数和基。

6．判别线性方程组解的存在性，并利用矩阵的初等行变换求解线性方程组。

7．了解方阵的特征值、特征向量及矩阵的相似性的相关概念，会求方阵的特征值、特

征向量。

8．掌握实对称矩阵的相似矩阵的计算法，尤其是对角化方法，并会用此法化二次型为标准形。

四、教材与学习资源

教材：蔡俊亮、李天林编著，《高等数学B》（上、下册）(第2版)，北京：北京师

范大学出版社，2009。

学习资源：

华东师范大学数学系编：《数学分析》， 北京：高等教育出版社，2007

托马斯编：《托马斯微积分》(第10版)，北京：高等教育出版社，2008

王绵森、马知恩编：《工科数学分析基础》，北京：高等教育出版社，1998

蔡俊亮主编：《高等数学基础》(上、下册），北京：人民教育出版社，2003

同济大学应用数学系编：《高等数学习题课讲义》，北京：高等教育出版社，2000

五、教学策略与方法建议（可选项）

要求学员先修完成初等数学课程；教学策略精讲多练；建议学员课前预习，课堂认真听讲，课后多练习。

六、考核方式

闭卷考试：120分钟；平时成绩40%（作业10%，中测10%，课堂10%；纪律），期末卷面成绩60%。

【编写日期】：2014年12月26日