北京师范大学未来教育学院

通识课程

数理基础与科学素养

所在位置: 首页» 通识课程» 数理基础与科学素养

概率论与数理统计

发布时间：2019-08-12 文章来源：

课程名称：概率论与数理统计

英文名称：Probability and Mathematical Statistics

【课程编号】（可选项）GEN04115	【所属模块】（必备项）√ 数理基础与科学素养 √
【学分数】（必备项）3	【适用专业】（必备项）理工科
【学时数】（必备项）48	【开设学期（春季、秋季、夏季小学期）】（必备项）三
【已开设次数】（必备项）	【建议选课人数】（必备项）每个班50-100人，需配备助教
【授课教师姓名】（必备项）王颖喆, 李慧, 赵亮	【授课教师职称】（必备项）副教授,讲师
【授课教师联系方式】（必备项）王颖喆 <wangyz@bnu.edu.cn>, 李慧 <li_hui@bnu.edu.cn>, 赵亮 <liangzhao@bnu.edu.cn>,
【开课单位】（必备项）数学科学学院
【先修课要求】（必备项）必须具备微积分的基本理论及计算方法。根据不同专业对大学数学的要求，还应选择性地具备级数、线性代数及常微分方程的基本概念、基本的计算方法。

一、课程简介（必备项）

概率论与数理统计是高等院校普遍开设一门重要的基础课，是理工科学生的必修课。它来自对不确定现象的理解和认识，是研究和揭示不确定随机现象的统计规律的一门数学学科。概率论与数理统计的方法日益渗透到各个领域，被广泛应用于自然科学、工程技术、经营管理、医学、金融保险甚至人文科学等多方面。

课程分为两个部分，第一部分为概率部分，研究对象为偶然事件的数量关系，包括随机事件与概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理等内容。第二部分为数理统计部分，是以概率论为基础，研究如何有效地收集数据或预测并为采取决策提供依据和建议的一门学科，内容包括数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析。

二、课程目标（必备项）

概率统计是观察世界、认识客观事物发展和运动规律的一种数学方法，它来自对不确定性现象的理解和认识，在概率统计的教学中，应注重引导学生形成的新的思维方式，培养学生对这门学科的学习热情，激发学生自主学习和主动探索的精神。通过教学手段的多样性以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识，并将概率统计的这种不确定性思维方式变成学生数学思维的另一种模式，为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、信息等学科的研究打下良好的基础。

▲ 认知目标 能够陈述概率论与数理统计课程中的基本概念、定义、定理；能够解释定理及公式的直观背景及其含义；能够举出相应的实例，并用概率统计的语言进行描述；会用概率统计的基本概念去解释日常生活及专业学习中遇到的随机事件；能够将概率统计的不确定性思维方式与其他数学课程的确定性思维模式加以区分。

▲ 技能目标 通过对本课程的学习，学生应具备一种不同于代数和分析的新的逻辑思维模式，即一种研究随机现象的思维方式。学会从另外一个角度认识身边的世界，特别是对随机性的认识。我们生活在信息时代，大多数信息以量化的形式传播，通过本课程的学习，学生应该能够正确认识这些数字所包含的信息，并善于利用这些信息。更重要的是理解并会应用统计推断的方法处理问题，正确运用归纳法与演绎法，知道如何量度不确定性以获得最佳决策。为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、信息等学科的研究打下良好的基础。▲ 情感目标 概率统计课程的学习，不仅是专业的需要，也是在这个信息化社会生活的需要，正如英国著名历史学家Wells 所强调的：“统计思维总有一天会像读和写一样成为一个有效率公民的必备能力。”本课程与我们的学习生活关系较为密切，能较好地激发学生的学习兴趣，并培养他们学习数学的热情。

三、教学内容和学时分配（必备项）

（一）总论（或绪论、概论等）学时（1）

主要内容：概率论与数理统计之一学科的发展历史、应用及学习内容、学习方法简介。

教学要求：使学生初步了解概率论与数理统计的基本内容及其应用，了解基本的学习方法和教学方法。

（二）第一章随机事件与概率学时（8）

主要内容：

随机事件的基本概念

1.2 概率的定义与性质

1.3 概率计算实例

1.4 条件概率

1.5 事件的独立性

教学要求：

1 理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；

2 了解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算简单的古典概型和几何概型的概率；

3 掌握概率计算的几个重要公式，如加法公式、乘法公式，会应用全概公式和贝叶斯公式；

4 理解事件独立性的概念，会应用独立性进行计算；

5 理解独立试验序列概型，掌握计算有关概率的方法。

重点、难点：重点掌握事件之间的关系与运算，概率计算的几个重要公式。

其它教学环节：1个学时习题课。

（三）第二章一维随机变量及其分布学时（8）

主要内容：

2.1 随机变量

2.2 离散型随机变量及其分布律

2.3 二项分布与泊松分布的应用

2.4 随机变量的分布函数

2.5 连续型随机变量及其概率密度

2.6 正态分布

2.7 随机变量函数的分布

教学要求：

1 理解随机变量的概念，知道其取值的意义，并能在实例中正确设出随机变量；

2 理解离散型随机变量与分布列的概念，掌握两点分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松分布的背景、公式和应用；

3 理解随机变量分布函数的概念和性质，会利用分布函数计算与随机变量有关的事件的概率；

4 理解连续型随机变量与分布密度的概念，掌握密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布，指数分布，正态分布的背景、概率密度及简单应用；

5 会求简单随机变量函数的概率分布。

重点、难点：重点掌握随机变量的概念，理解分布函数与分布密度的概念。

其它教学环节：2个学时节习题课。

（四）第三章多维随机向量及其分布学时（4）

主要内容：

3.1 二维随机变量的联合分布

3.2 边缘分布

3.3 随机变量的独立性

3.4 两个随机变量的函数的分布

3.5 条件分布

教学要求：

1 理解二维随机变量的概念，知道其取值的意义，并能在实例中正确设出随机变量。

2 理解二维随机变量联合分布、边缘分布的概念、性质；掌握两种基本形式：离散型联合分布列、边缘分布列；连续型联合分布函数、边缘分布密度。

3 会利用二维概率分布计算与随机变量有关的事件的概率；

4 理解随机变量独立性与不相关的概念，掌握离散型随机变量与连续型随机变量独立的条件。

5 会求两个独立随机变量的简单函数的概率分布。

6 了解条件分布的概念.

重点、难点：

重点掌握联合分布函数、边缘分布密度的关系；两个独立随机变量的简单函数的概率分布的计算。

其它教学环节：1个学时节习题课。

（五）第四章随机变量的数字特征学时（6）

主要内容：

4.1 数学期望

4.2 数学期望的应用

4.3方差

4.4 协方差和相关系数

教学要求：

1 理解随机变量数字特征的概念，并会应用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征；

2 掌握常用分布的数字特征；

3 会求随机变量函数的数学期望；

4 了解数学期望的应用。

重点、难点：数学期望的计算技巧及应用。

其它教学环节：2个学时节习题课。

（六）第五章大数定律与中心极限定理学时（3）

主要内容：

5.1 大数定律

5.2 中心极限定理

教学要求：

1 了解契比雪夫不等式及契比雪夫大数定律；了解贝努利大数定律；

2 了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

重点、难点：大数定律，中心极限定理。

（七）第六章数理统计的基本概念学时（4）

主要内容：

6.1 总体和样本

6.2 统计量

6.3 数理统计中常用的分布及背景

6.4 样本统计量的分布

6.5 分位数

教学要求：

1 理解总体、个体、简单随机样本、统计量的概念；

2 理解样本均值、样本方差、样本矩的概念；

3 了解数理统计中常用分布的定义、性质及背景，了解分位数的概念并会查表；

4 了解正态分布总体的某些常用抽样的分布。

重点、难点：总体与样本的关系，统计量及抽样分布的概念。

（八）第七章参数估计学时（6）

主要内容：

7.1 点估计概述

7.2 矩估计法

7.3 最大似然法

7.4 区间估计

教学要求：

1 理解参数的点估计、估计量和估计值的概念；

2 掌握矩法估计（一阶、二阶）和最大似然估计法及其简单应用；

3 了解估计量的无偏性，有效性和一致性的概念，并会验证无偏性；

4 了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。

重点、难点：几种估计方法的原理及应用。

其它教学环节：1个学时节习题课。

（九） 第八章假设检验学时（5）

主要内容：

8.1 假设检验的基本概念

8.2 单个正态总体未知参数的假设检验

8.3 两个正态总体参数的假设检验

8.4 总体分布的假设检验

8.5 列联表的独立性检验

8.6 非参数检验

教学要求：

1 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误；

2 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验；

3 了解总体分布的假设检验；

4 了解列联表及其他非参数检验方法的原理及应用。

重点、难点：假设检验的基本原理。

其它教学环节：1个学时节习题课。

（十）第九章方差分析与回归分析学时（3）

主要内容

9.1 方差分析

9.2 一元线性回归

教学要求： 简单了解单因素试验的方差分析及一元线性回归的原理与应用。

三、教材与学习资源

王颖喆，概率与数理统计. 北京师范大学出版社, 2008..
李仲来, 生物统计. 北京师范大学出版社, 2008.
耿素云，张立昂. 概率统计. 北京：北京大学出版社，2000.
廖昭懋，杨文礼. 概率论与数理统计. 北京：北京师范大学出版社，1988.
沈恒范. 概率论与数理统计教程. 北京：高等教育出版社，2003.
浙江大学数学系主编. 概率论与数理统计. 北京：高等教育出版社，2001.

四、教学策略与方法建议

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象的统计规律的一门数学学科。本课程的前半部分为概率论，研究对象为偶然事件的数量关系，以一元及多元微积分作为其主要的分析理论和计算方法，同时还会用到一些级数和线性代数的知识，偶尔涉及简单的常微分方程。本课程的后半部分是数理统计，是以概率论为基础，通过对随机现象的观察和试验，获得数据并分析数据，从中得出有用的结论的数学方法，因此具有概率论的基础知识是学习数理统计的先决条件。

五、考核方式

平时成绩40%，期末闭卷考试成绩60%。