课程名称：高等代数I, II

英文名称：Advanced Algebra I, II

【课程编号】（可选项） GEN04104、GEN04105	【所属模块】（必备项） 数理基础与科学素养√
【学分数】（必备项）4+4	【适用专业】（必备项） 所有专业
【学时数】（必备项）4/周，2学期，每学期18周，共144	【开设学期（春季、秋季、夏季小学期）】 （必备项）一、二
【已开设次数】（必备项）	【建议选课人数】（必备项） 100-200 (配备3到4 助教)
【授课教师姓名】胡永建	【授课教师职称】（必备项）
【授课教师联系方式】（必备项）Email：
【开课单位】（必备项）数学科学学院
【先修课要求】（必备项）无

一、课程简介（必备项）

高等代数是大学数学专业及理科专业学生主要的基础课程之一，是学生进一步学习数学的必不可少的基础，并在其他学科中有着极广泛的应用。高等代数的内容包括以解线性方程组为基础发展起来的线性代数理论和以解高次代数方程为基础发展起来的多项式理论。

 

二、课程目标（必备项）

使学生掌握该课程的基本概念, 基本工具和基本理论，为他们进一步学习数学和其他学科打下坚实的代数学基础。在内容上以研究线性空间的结构和线性空间之间的变换为主线，在方法上突出矩阵和行列式等基本工具的作用，使学生感受到高等代数方法的简洁和实用。

高等代数中抽象的概念较多，但它们都是从各种具体的问题中归纳出来的。本课程在叙述基础知识的同时，努力做到交待清楚概念的来龙去脉，让学生认识到抽象与具体的辩证关系，进而提高他们分析问题和解决问题的能力。

 

三、教学内容和学时分配（必备项）共144学时

（一）第一章 线性方程组与矩阵 14学时（课堂讲授10学时+习题课4学时）

主要内容：

§1.1. 线性方程组

§1.2. 矩阵的运算

§1.3. 矩阵的分块

§1.4. 矩阵的秩

 

教学要求：掌握一般线形方程组的高斯消元法, 矩阵的加法，数乘和乘法运算，用初等变换求矩阵的秩和可逆矩阵的逆。

其它教学环节：答疑9学时

（二）第二章 行列式 18学时（课堂讲授14学时+习题课4学时）

主要内容：

§2.1. 映射、置换

§2.2. 置换的结构与奇偶性

§2.3. 行列式的定义

§2.4. 行列式的性质

§2.5. 行列式依行（列）的展开

§2.6. 行列式的应用

教学要求：从二阶和三阶行列式出发，给出任意阶行列式的定义。使学生掌握行列式的定义和基本性质及其应用。

其它教学环节：答疑12学时

（三）第三章 群、环、域的定义和例子 20学时（课堂讲授16学时+习题课4学时）

主要内容：

§1．等价关系

§2．二元运算

§3．群的定义

§4．子群

§5．环的定义

§6．域的定义

教学要求：通过介绍群、环、域的定义和例子，使学生初步了解现代代数学中最基本的概念和语言。

其它教学环节：答疑15学时

 

（四）第四章 多项式 20学时（课堂讲授14学时+习题课6学时）

主要内容：

§1. 一元多项式环的定义

§2. 多项式的整除性

§3. 多项式的因式分解

§4. 多项式的根

§5. 复数域、实数域和有理数域上的多项式

教学要求：使学生在中学数学中所学的多项式的基础上，理解域上的未定元、不可约多项式等概念, 掌握一元多项式环的整除性理论。

其它教学环节：答疑15学时

 

（五）第五章 向量空间 20学时（课堂讲授16学时+习题课4学时）

主要内容：

§1. 向量空间的定义

§2. 向量的线性关系

§3. 基和维数

§4. 向量的坐标、基变换

§5. 向量空间的同构

§6. 向量空间理论的应用

教学要求：掌握向量空间的定义，理解向量的线性相关和无关性。进一步理解矩阵的秩这一概念, 以及代数结构的同构。会求线性方程组的解空间。

其它教学环节：答疑15学时

（六）第六章 线性变换 20学时（课堂讲授16学时+习题课4学时）

主要内容：

§1. 线性映射及其运算

§2. 线性变换的矩阵

§3. 不变子空间

§4. 特征值和特征向量

§5. 可对角化的矩阵

§6. 凯利-哈密尔顿定理

教学要求：掌握线性变换的定义和矩阵表达，理解不变子空间的概念。会求线性变换的特征值和特征向量, 会把可对角化的矩阵化为对角矩阵。掌握关于线性变换的特征多项式和极小多项式及其初步关系。

其它教学环节：答疑15学时

（七）第七章 二次型 14学时（课堂讲授10学时+习题课4学时）

主要内容：

§1. 二次型

§2. 实二次型

§3. 双线性函数

教学要求：掌握二次型及其矩阵表达, 会把二次型化为典范形，掌握实二次型正定性的判别法。了解双线性函数的定义。

其它教学环节：答疑9学时

（八）第八章 欧氏空间 18学时（课堂讲授12学时+习题课6学时）

主要内容：

§1. 欧氏空间

§2. 规范正交基

§3. 正交变换

§4. 对称变换

教学要求：掌握内积的概念，熟悉欧氏空间。会计算一个给定空间的标准正交基。会把一个实对称矩阵在正交变换下化为对角形。

其它教学环节：答疑12学时

四、教材与学习资源（必备项）

[1] 《代数学基础》（上册），张英伯、王恺顺，北京师范大学出版社，2012

[2] 《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新, 高等教育出版社, 第五版，2007

[3] 《高等代数》（上、下册），丘维声，清华大学出版社，2010

[4] 《线性代数引论》，兰以中，赵春来，北京大学出版社, 1998

[5] 《代数学引论》，（俄罗斯）科斯特里金，高等教育出版社，2006

[6] 《代数》，（美国）阿丁, 机械工业出版社，英文版第二版，2011

 

五、教学策略与方法建议（可选项）

课堂讲授为主，每章一般安排两次习题课，师生共同研习、讨论。另配备3至4名助教，并辅以每周3学时的答疑。

 

六、考核方式（必备项）

闭卷考试。考试成绩比例：平时40％，期末60％。

 

 

 【编写日期】：2014年12月15日